ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19 stron (zadania 1 – 12). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 2010 2 Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 25. podane były cztery odpowiedzi: A, B, C, D. Zdający wybierał poprawną odpowiedź i zaznaczał ją na karcie odpowiedzi. Zadanie 1. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Sprawdzane umiejętności Wykorzystanie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej do wskazania zbioru rozwiązań nierówności typu x - a >= b Poprawna odpowiedź (1 p.) C Zadanie 2. Obszar standardów Modelowanie matematyczne Zadanie 3. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 4. Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Zadanie 5. Obszar standardów Wykorzystanie i tworzenie informacji Sprawdzane umiejętności Wykonanie dodawania wielomianów Poprawna odpowiedź (1 p.) A Sprawdzane umiejętności Obliczenie sumy logarytmów Poprawna odpowiedź (1 p.) B Sprawdzane umiejętności Wykorzystanie w obliczeniach praw działań na potęgach Poprawna odpowiedź (1 p.) A Sprawdzane umiejętności Wykonywanie obliczeń procentowych Poprawna odpowiedź (1 p.) B Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy 3 Zadanie 6. Obszar standardów Wykorzystanie i tworzenie informacji Sprawdzane umiejętności Rozwiązanie prostego równanie wymiernego, prowadzącego do równania liniowego Poprawna odpowiedź (1 p.) D Zadanie 7. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 8. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 9. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 10. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 11. Obszar standardów Wykorzystanie i tworzenie informacji Sprawdzane umiejętności Wyznaczanie wyrazów ciągu arytmetycznego Poprawna odpowiedź (1 p.) C Sprawdzane umiejętności Odczytywanie wartości funkcji z jej wykresu Poprawna odpowiedź (1 p.) C Sprawdzane umiejętności Interpretowanie współczynników we wzorze funkcji liniowej Poprawna odpowiedź (1 p.) B Sprawdzane umiejętności Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej Poprawna odpowiedź (1 p.) B Sprawdzane umiejętności Sprawdzenie, czy dana liczba należy do zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej Poprawna odpowiedź (1 p.) D 4 Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadanie 12. Obszar standardów Wykorzystanie i tworzenie informacji Zadanie 13. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 14. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Sprawdzane umiejętności Stosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości wyrażenia Poprawna odpowiedź (1 p.) A Sprawdzane umiejętności Obliczania liczby przekątnych wielokąta Poprawna odpowiedź (1 p.) B Sprawdzane umiejętności Wyznaczanie wyrazów ciągu geometrycznego Poprawna odpowiedź (1 p.) B Zadanie 15. Obszar standardów Wykorzystanie i tworzenie informacji Zadanie 16. Obszar standardów Wykorzystanie i tworzenie informacji Sprawdzane umiejętności Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia wysokości tego trójkąta równoramiennego Poprawna odpowiedź (1 p.) B Sprawdzane umiejętności Wyznaczanie długości boku kwadratu wpisanego w okrąg Poprawna odpowiedź (1 p.) A Zadanie 17. Obszar standardów Wykorzystanie i tworzenie informacji Sprawdzane umiejętności Posługiwanie się własnościami figur podobnych do obliczania długości odcinków Poprawna odpowiedź (1 p.) A Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy 5 Zadanie 18. Obszar standardów Wykorzystanie i tworzenie informacji Sprawdzane umiejętności Korzystanie ze związków między kątem wpisanym i środkowym do obliczenia miary kąta Poprawna odpowiedź (1 p.) A Zadanie 19. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 20. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 21. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 22. Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Sprawdzane umiejętności Obliczanie odległości punktów na płaszczyźnie Poprawna odpowiedź (1 p.) C Sprawdzane umiejętności Wskazanie równania okręgu o podanej długości promienia Poprawna odpowiedź (1 p.) D Sprawdzane umiejętności Wskazanie współczynnika kierunkowego prostej równoległej do danej prostej Poprawna odpowiedź (1 p.) B Sprawdzane umiejętności Obliczanie pola figury płaskiej z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych Poprawna odpowiedź (1 p.) C 6 Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadanie 23. Obszar standardów Wykorzystanie i tworzenie informacji Zadanie 24. Obszar standardów Wykorzystanie i tworzenie informacji Zadanie 25. Obszar standardów Wykorzystanie i tworzenie informacji Sprawdzane umiejętności Obliczanie średniej arytmetycznej Poprawna odpowiedź (1 p.) D Sprawdzane umiejętności Obliczanie liczby krawędzi wielościanu Poprawna odpowiedź (1 p.) D Sprawdzane umiejętności Obliczanie pola powierzchni wielościanu Poprawna odpowiedź (1 p.) A Zadania otwarte Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów. Zadanie 26. (0-2) Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Sprawdzane umiejętności Rozwiązywanie nierówności kwadratowej Rozwiązanie Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego o obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: ? =9 1- 3 1+ 3 x1 = = -1 = = 2 x2 2 2 albo o stosujemy wzory Vi?te'a: x1 + x2 =oraz x1 ? x2 = 1 -2 i stąd x1 = -1 , x2 = 2 albo o zapisujemy nierówność w postaci ( x + 1)( x - 2 ) = -1 , x 0 = 169 12 cos ? = 13 12 ? ?cos ? = 5 sin ? ? ? 2 ?? 12 sin ? ? + sin 2 ? = 1 ? ?? 5 ? ?? 144 2 sin ? + sin 2 ? = 1 25 25 sin 2 ? i sin ? > 0 = 169 5 12 sin ? = =ąd cos i st ? 13 13 II sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny) c 5x 12x = c2 (12 x ) + ( 5 x ) 2 2 c = 13 x cos ? = 12 13 Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy o przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko cos? 5 25 i wykorzysta ,,jedynkę trygonometryczną", np. sin ? = cos ? , cos 2 ? + cos 2 ? = 1 12 144 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd albo o przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sin ? 12 144 2 i wykorzysta ,,jedynkę trygonometryczną", np. cos ? = sin ? , sin ? + sin 2 ? = 1 5 25 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd albo o przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sin ? np. 25 sin 2 ? lub 25 - 25sin 2 ? = i na tym poprzestanie lub dalej popełni = 144sin 2 ? 2 144 1 - sin ? błąd Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy 11 albo o przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sin ? i tg? , np. popełni błąd tg 2? ? cos 2 ? + cos 2 ? = cos 2 ? ( tg 2? + 1) = i na tym poprzestanie lub dalej 1 lub 1 albo o obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 12 i 5 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym oraz zapisze sin ? i na tym zakończy albo o obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 12 i 5 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym i zapisze cos ? albo o narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 5 (lub ich wielokrotności), obliczy długość przeciwprostokątnej i zaznaczy w tym trójkącie poprawnie kąt ? albo o odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta ? : ? ? 22° (akceptujemy wynik ? ? 23° ) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy 12 o obliczy wartość cos ? : cos ? = 13 albo o obliczy przybliżoną wartość cos ? : cos 22° ? 0,9272 lub cos 23° ? 0,9205 Zadanie 30. (0-2) Obszar standardów Rozumowania i argumentacji Sprawdzane umiejętności Wykazanie prawdziwości nierówności I sposób rozwiązania Przekształcamy nierówność w sposób równoważny: a2 + 1 a + 1 a2 + 1 a + 1 - >=0 >= a +1 2 a +1 2 2 2 2 ( a 2 + 1) - ( a + 1) 2 ( a 2 + 1) >= ( a + 1) 2a 2 + 2 >= a 2 + 2a + 1 a 2 - 2a + 1 >= 0 2 ( a + 1) >=0 >=0 co kończy dowód. ( a - 1) 2 a 2 - 2a + 1 >=0 2 ( a + 1) ( a - 1) >= 0 2 ( a + 1) 2 co kończy dowód. 12 Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy II sposób rozwiązania 2 Dla każdej liczby rzeczywistej a prawdziwa jest nierówność ( a - 1) >= 0 . Przekształcamy tę nierówność w sposób równoważny: ( a - 1) + ( a + 1) >= ( a + 1) 2 2a 2 + 2 >= ( a + 1) 2 2 ( a 2 + 1) >= ( a + 1) 2 2 2 a2 + 1 a + 1 Ponieważ a > 0 , więc >= a +1 2 co kończy dowód. III sposób rozwiązania (dowód nie wprost) a2 + 1 a + 1 . Przekształcamy tę nierówność 0 mamy Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy a 2 - 2a + 1 >= 0 i na tym poprzestanie lub o otrzyma nierówność a 2 - 2a + 1 >= 0 lub 2 ( a + 1) w dalszej części dowodu popełni błąd albo 2 o stosując metodę dowodu nie wprost otrzyma nierówność ( a - 1) = ( a + 1) i nie zapisze żadnych wniosków lub zapisze błędne wnioski. Zdający otrzymuje ............................................................................................................. 2 pkt gdy o zapisze nierówność a 2 - 2a + 1 >= 0 i uzasadni, że wszystkie liczby dodatnie a spełniają tę nierówność albo a 2 - 2a + 1 o zapisze nierówność >= 0 i uzasadni, że wszystkie liczby dodatnie a spełniają 2 ( a + 1) tę nierówność albo 2 o stosując metodę dowodu nie wprost otrzyma nierówność ( a - 1) < 0 i zapisze, że otrzymana nierówność nie zachodzi dla żadnej liczby rzeczywistej a . Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy 13 Zadanie 31. (0-2) Obszar standardów Wykorzystanie i tworzenie informacji Rozwiązanie D Sprawdzane umiejętności Wykorzystanie związków miarowych w trójkącie prostokątnym i równobocznym C Prowadzimy wysokość CE trójkąta równobocznego ABC. Wówczas AE = 3 i stąd CD AE 3 . = = = Następnie zapisujemy, że BC oraz DA CE = = 6 3 = 3 3. 2 Stąd obwód trapezu jest równy 6+ 6+3+3 3 = 1 5 3 3 . + AB 6 = A E B Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy o prawidłowo podzieli trapez na trójkąty i poprawnie obliczy długość krótszej podstawy trapezu ( DC = 3 ) i na tym zakończy lub popełni błędy rachunkowe przy obliczaniu obwodu trapezu albo o prawidłowo podzieli trapez na trójkąty i poprawnie obliczy wysokość trapezu ( h = 3 3 ) i na tym zakończy lub popełni błędy rachunkowe przy obliczaniu obwodu trapezu Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy obliczy poprawnie obwód trapezu: 15 + 3 3 . Zadanie 32. (0-4) Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Sprawdzane umiejętności Obliczanie objętości wielościanu Uwaga Strategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów rozwiązania: o obliczenie długości krawędzi AB lub AC podstawy ostrosłupa bądź wysokości DE ściany bocznej BCD o zastosowanie poprawnej metody obliczenia pola podstawy i obliczenie tego pola o obliczenie objętości ostrosłupa 14 Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy I sposób rozwiązania (krawędź podstawy, wysokość AE podstawy i ,,zwykły" wzór na pole trójkąta ABC) Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta ABD wynika, że 2 2 2 AB = BD - AD = 25 , stąd AB = 5 . Podobnie z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta ACD wynika, że AC = 5 . A B . E C Rysujemy trójkąt ABC i prowadzimy w nim wysokość AE. Trójkąt ABC jest równoramienny ( AB = AC ), więc BE EC 3 . Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta = = ABE mamy AE = AB - BE = 16 , stąd AE = 4 . 2 2 2 Zatem PABC = 1 1 ? 6 ? 4 = 12 . Objętość ostrosłupa jest równa V = ?12 ?12 = 48 . 2 3 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania ......................................................................................................................... 1 pkt Obliczenie długości krawędzi AB lub AC podstawy ostrosłupa: AB = 5 , AC = 5 . Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ...................................................................... 2 pkt Obliczenie wysokości AE trójkąta ABC: AE = 4 . Uwaga Zdający nie musi uzasadniać, że BE = EC , wystarczy, że poprawnie stosuje twierdzenie Pitagorasa do obliczenia wysokości AE trójkąta ABC. Pokonanie zasadniczych trudności zadania..................................................................... 3 pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: PABC = 12 . Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 4 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 48 . Uwaga Jeśli zdający przy obliczaniu wysokości trójkąta ABC lub pola tego trójkąta (pola podstawy ostrosłupa) nie stosuje poprawnej metody (co przekreśla poprawność strategii rozwiązania zadania), np. przyjmie, że środkowa CF trójkąta ABC jest jego wysokością, to za całe rozwiązanie przyznajemy co najwyżej 1 punkt (zdający nie osiągnął istotnego postępu). Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy 15 II sposób rozwiązania (krawędź podstawy, cosinus jednego z kątów trójkąta ABC, wzór z sinusem na pole trójkąta ABC) Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta ABD wynika, że AB = BD - AD = 25 , stąd AB = 5 . Podobnie z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego 2 2 2 do trójkąta ACD wynika, że AC = 5 . A ? ? . B E C Rysujemy trójkąt ABC i prowadzimy w nim wysokość AE i oznaczamy ? = ? ABC . Wariant I obliczenia pola podstawy. Trójkąt ABC jest równoramienny ( AB = AC ), więc BE EC 3 . = = Stąd cos ? = BE 3 4 ?3? . Zatem sin ? = - cos 2 ? = - ? ? =. = 1 1 BA 5 5 ?5? 1 1 4 Pole trójkąta ABC jest równe PABC = ? BC ? BA sin ? = ? 6 ? 5 ? = 12 . 2 2 5 2 Wariant II obliczenia pola podstawy. Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC obliczamy cos ? : 7 . 62 = 52 + 52 - 2 ? 5 ? 5cos ? , stąd cos ? = 25 24 ? 7 ? Następnie obliczamy sin ? = cos ? = ? ? =. 1- 1- 25 ? 25 ? 1 1 24 Pole trójkąta ABC jest równe PABC = ? AB ? AC sin ? = ? 5 ? 5 ? = 12 . 2 2 25 Po obliczeniu pola podstawy obliczamy objętość V ostrosłupa 1 V = ?12 ?12 = 48 . 3 2 2 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania ........................................................................................................................ 1 pkt Obliczenie długości krawędzi AB lub AC podstawy ostrosłupa: AB = 5 , AC = 5 . Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt 4 24 . Obliczenie sinusa jednego z kątów trójkąta ABC: sin ? = lub sin ? = 5 25 16 Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy Pokonanie zasadniczych trudności zadania..................................................................... 3 pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: PABC = 12 . Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 4 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 48 . Uwaga Jeśli zdający przy obliczaniu wysokości trójkąta ABC lub pola tego trójkąta (pola podstawy ostrosłupa) nie stosuje poprawnej metody (co przekreśla poprawność strategii BE 3 rozwiązania zadania), np. zapisze, że sin ? = , to za całe rozwiązanie = BA 5 przyznajemy co najwyżej 1 punkt (zdający nie osiągnął istotnego postępu). III sposób rozwiązania (krawędź podstawy, wzór Herona na pole trójkąta ABC) Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta ABD wynika, 2 2 2 że AB = BD - AD = 25 , stąd AB = 5 . Podobnie z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta ACD wynika, że AC = 5 . Pole trójkąta ABC obliczamy ze wzoru Herona 5+5+6 = p ( p - a )( p - b )( p - c ) , gdzie p = 8 , p - a = 8 - 6 = 2 , 2 p -b = p - c = 8-5 = 3. PABC = PABC = 8 ? 2 ? 3 ? 3 = 12 . 1 1 Objętość ostrosłupa jest równa V = ? PABC ? AD = ?12 ?12 = 48 . 3 3 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania ......................................................................................................................... 1 pkt Obliczenie długości krawędzi AB lub AC podstawy ostrosłupa: AB = 5 , AC = 5 . Pokonanie zasadniczych trudności zadania..................................................................... 3 pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: PABC = 12 . Uwaga Zdający otrzymuje 2 punkty, jeśli poprawnie zastosuje wzór Herona, popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pola trójkąta ABC i na tym zakończy. Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 4 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 48 . Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy 17 IV sposób rozwiązania (wysokość ściany bocznej BCD, wysokość AE podstawy i ,,zwykły" wzór na pole trójkąta ABC) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. D 12 13 13 C A . . 6E . B Trójkąt BCD jest równoramienny, więc środek E boku BC jest spodkiem wysokości DE tego trójkąta. Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta BED wynika, że DE = BD - BE = 132 - 32 = 160 . Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ADE obliczamy wysokość AE trójkąta ABC 2 2 2 AE = DE - AD = 160 - 122 = 16 , stąd AE = 4 . 2 2 2 Pole trójkąta ABC jest równe PABC = 1 ? 6 ? 4 = 12 . 2 1 Objętość ostrosłupa jest równa V = ?12 ?12 = 48 . 3 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania ........................................................................................................................ 1 pkt Obliczenie wysokości DE ściany bocznej BCD ostrosłupa (lub kwadratu tej wysokości): DE = 4 10 . Uwaga Zdający nie musi uzasadniać, że BE = EC , wystarczy, że poprawnie stosuje twierdzenia Pitagorasa do obliczenia wysokości DE trójkąta BCD. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt Obliczenie wysokości AE trójkąta ABC: AE = 4 . Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: PABC = 12 . Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 48 . 18 Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadanie 33. (0-4) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Sprawdzane umiejętności Obliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa Rozwiązanie (model klasyczny) Ohm jest zbiorem wszystkich par ( a, b ) takich, że a, b ? {1, 2,3, 4,5, 6} . Mamy model klasyczny. Ohm =36 . Zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: ( 2, 6 ) , ( 4,3) , ( 4, 6 ) , ( 6, 2 ) , ( 6, 4 ) , ( 6, 6 ) Zatem A = 6 i stąd P ( A ) = A 6 1 . = = Ohm 36 6 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt Zdający zapisze, że Ohm =36 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt Zdający zapisze, że Ohm =36 oraz, że A = {( 2, 6 ) , ( 4,3) , ( 4, 6 ) , ( 6, 2 ) , ( 6, 4 ) , ( 6, 6 )} i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt Zdający zapisze, że Ohm =36 oraz obliczy A = 6 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Uwaga Jeżeli zdający wypisze bezbłędnie wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, ale błędnie zapisze ich liczbę (np. A = 5 albo A = 7 ) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty. Rozwiązanie bezbłędne ...................................................................................................... 4 pkt 1 Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P ( A ) = 6 Uwaga 1 Jeśli zdający ograniczy swoje rozwiązanie do zapisu Ohm =36 ; A = 6 oraz P ( A ) = , 6 to otrzymuje 1 pkt. Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy 19 Zadanie 34. (0-5) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Sprawdzane umiejętności Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego Rozwiązanie Oznaczmy przez x długość (w metrach) basenu w pierwszym hotelu i przez y szerokość (w metrach) tego basenu. Zapisujemy układ równań: 240 ?x ? y = ? ? 350 ?( x + 5 ) ? ( y + 2 ) = ? Przekształcamy drugie równanie w sposób równoważny: x ? y + 2 x + 5 y + 10 = , 350 podstawiamy do tego równania x ? y = i wyznaczamy z tak przekształconego równania 240 100 - 5 y niewiadomą x : x = . Wyznaczoną wartość x podstawiamy do pierwszego 2 100 - 5 y równania ? y = , które następnie przekształcamy do postaci: 240 2 = = y 2 - 20 y + 96 = Rozwiązaniami tego równania są: y1 8, y2 12 . 0. Zatem: o jeżeli y = 8 , to x = 30 i wtedy basen w pierwszym hotelu ma wymiary: 30 m × 8 m , zaś basen w drugim hotelu: 35 m ×10 m , o jeżeli y = 12 , to x = 20 i wtedy basen w pierwszym hotelu ma wymiary: 20 m ×12 m , zaś basen w drugim hotelu: 25 m ×14 m . Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ........................................................................................................ 1 pkt Wprowadzenie oznaczeń, na przykład: x , y - wymiary basenu w pierwszym hotelu i zapisanie równania x ? y = albo równania ( x + 5 ) ? ( y + 2 ) = . 350 240 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ................................................................... 2 pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi x i y , np. 240 ?x ? y = ? ? 350 ?( x + 5 ) ? ( y + 2 ) = ? Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może od razu zapisać równanie z jedną niewiadomą. Pokonanie zasadniczych trudności zadania ................................................................... 3 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np: ? 240 ? 240 350 ( x + 5) ? ? + 2 ? = albo ? + 5 ? ? ( y + 2 ) = ? ? 350 ? x ? ? y ? Rozwiązanie prawie całkowite......................................................................................... 4 pkt Doprowadzenie równania wymiernego do równania kwadratowego oraz rozwiązanie równania kwadratowego: x 2 - 50 x + 600 = 0 , skąd x = 20 lub x = 30 20 Egzamin maturalny z matematyki Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy albo y 2 - 20 y + 96 = skąd y = 8 lub y = 12 0, Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ....................................................... 4 pkt Zdający popełnia błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania (ale otrzymuje dwa rozwiązania) i konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza wymiary obu basenów. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................ 5 pkt Zapisanie wymiarów obu basenów: Basen w pierwszym hotelu ma wymiary 30 m × 8 m i w drugim hotelu 35 m ×10 m lub basen w pierwszym hotelu ma wymiary 20 m ×12 m i w drugim 25 m ×14 m . Komisje Egzaminacyjne - dane teleadresowe Centralna Komisja Egzaminacyjna kod: 00-190miejscowość: Warszawaadres: ul. Józefa Lewartowskiego 6kontakt tel.: (22) 53-66-500fax: (22) 53-66-504e-mail: ckesekr@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Gdańsku kod: 80-874miejscowość: Gdańskadres: ul. Na Stoku 49kontakt tel.: (58) 32-05-590fax: (58) 32-05-591e-mail: komisja@ pracy: - 191687916NIP: 583-26-08-016 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Jaworznie kod: 43-600miejscowość: Jaworznoadres: ul. Mickiewicza 4kontakt tel.: (32) 78-41-601fax: (32) 78-41-608e-mail: sekretariat@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie kod: 31-978miejscowość: Krakówadres: os. Szkolne 37kontakt tel.: (12) 68-32-101fax: (12) 68-32-100e-mail: oke@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łodzi kod: 94-203miejscowość: Łódźadres: ul. Praussa 4kontakt tel.: (42) 63-49-133fax: (42) 63-49-154e-mail: komisja@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży kod: 18-400miejscowość: Łomżaadres: ul. Nowa 2kontakt tel.: (86) 21-64-495fax: (86) 473-71-20e-mail: sekretariat@ pracy: 8 - 16 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu kod: 61-655miejscowość: Poznańadres: ul. Gronowa 22kontakt tel.: (61) 85-40-160fax: (61) 85-21-441e-mail: sekretariat@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Warszawie kod: 00-844miejscowość: Warszawaadres: ul. Grzybowska 77kontakt tel.: (22) 45-70-335fax: (22) 45-70-345e-mail: info@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna we Wrocławiu kod: 53-533miejscowość: Wrocławadres: ul. Zielińskiego 57kontakt tel.: (71) 78-51-894fax: (71) 78 -51-866e-mail: sekretariat@ pracy: 8-16REGON: 931982940NIP: 895-16-60-154
Matura: CKE Arkusz maturalny: matematyka podstawowa Rok: 2012. Arkusz PDF i odpowiedzi: Matura podstawowa matematyka 2010 Matura podstawowa matematyka 2009
Stupify Użytkownik Posty: 2 Rejestracja: 20 lis 2012, o 16:23 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Lublin Przykładowy Arkusz Egzaminacyjny z Matematyki 2010 Arkusz 10 Witam, szukam odpowiedzi do " Przykładowy Arkusz Egzaminacyjny z Matematyki 2010 Arkusz 10 " Poziom podstawowy, wydany przez OPERON. Był bym bardzo wdzięczy na informacje gdzie mogę znaleźć do niego odpowiedzi lub czy może ktoś je posiada, jest do dla mnie bardzo ważne. Dziękuję. Stupify Użytkownik Posty: 2 Rejestracja: 20 lis 2012, o 16:23 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Lublin Przykładowy Arkusz Egzaminacyjny z Matematyki 2010 Arkusz 10 Post autor: Stupify » 20 lis 2012, o 19:27 Dziękuję uprzejmie Hd433f Użytkownik Posty: 2 Rejestracja: 27 lut 2018, o 12:57 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Re: Przykładowy Arkusz Egzaminacyjny z Matematyki 2010 Arkus Post autor: Hd433f » 27 lut 2018, o 14:18 Ma ktoś może arkusze ? bardzo potrzebne :/ malutka_12 Użytkownik Posty: 1 Rejestracja: 15 mar 2020, o 20:46 Płeć: Kobieta wiek: 20 Re: Przykładowy Arkusz Egzaminacyjny z Matematyki 2010 Arkusz 10 Post autor: malutka_12 » 15 mar 2020, o 20:53 Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki odpowiedzi 2010 arkusz 1 ma ktoś liczę na szybką odpowiedź Matura próbna – Matematyka – Listopad 2010 – Odpowiedzi. Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury próbnej na poziomie podstawowym – listopad 2010. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny możesz także zrobić online lub Matura 2023 z matematyki formuła 2023. W tym artykule opublikujemy odpowiedzi i arkusz CKE z matematyki. 8 maja maturzyści rozpoczęli zmagania z maturą z matematyki na poziomie podstawowym
Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Strona 3 z 20 Schemat oceniania do zadań otwartych Zadanie 26. (2 pkt) Rozwiąż nierówność xx2 ++≤11 30 0. I sposób rozwiązania Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego: • obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i pierwiastki tego trójmianu: Δ=1, 1 11 1 6 2 x −− ==−, 2 11
Matematyka 2010 – matura próbna rozszerzona Operon. Matura próbna: Operon Przedmiot: matematyka Poziom: rozszerzony Rok: 2010 Arkusz PDF i odpowiedzi do pobrania:
Arkusz: matematyka, poziom podstawowy. Arkusze z matematyki - poziom podstawowy - POBIERZ matma matura 2010 wyniki, matura 2010 matma, odpowiedzi z matmy, matura z matematyki 2010 wyniki
W tym dziale znajdziesz materiały edukacyjne, które pomogą Ci się przygotować do egzaminu ósmoklasisty z matematyki. Poniżej znajdują się arkusze egzaminacyjne z matematyki. Każdy arkusz możesz rozwiązać online, możesz także przejrzeć pełne rozwiązania krok po kroku, albo też możesz pobrać arkusz w formie PDF i rozwiązać
en arkusz moesz zroi online na stronie Szaloneiczy.plmatura Strona 6 z 30 EMAP-P0_100 Zadanie 5. (0–1) Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną jednego z niżej zapisanych układów równań. − Wskaż ten układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku. A. { =− +2 =−2 +1 B. { = −2
Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 10 Zadanie 8. (4 pkt) Odcinek CD jest zawarty w dwusiecznej kąta ACB trójkąta ABC. Kąty trójkąta ABC mają miary: )CAB =°42 , )ABC =°78 . Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie C przecina prostą AB w punkcie E (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów Jeżeli liczba jest o 50% większa od połowy liczby , to liczba jest większa od o. A) 200% B) 100% C) 50% D) 150%. Zadanie 10. (1 pkt) Liczba jest równa. A) 0 B) C) D) Próbny zestaw egzaminacyjny: Działania na liczbach, Zadania zamknięte (na 30 min). Treści zadań , Zadania maturalne, 162152.
SAT Math – amerykańska matura z matematyki. Post Gościnny | 2021-08-04 (ostatnia aktualizacja: 2022-03-03) SAT to test używany przez komisje kwalifikacyjne na uniwersytetach, aby ocenić potencjał kandydatów do studiowania w college’u. SAT Math Test skupia się na tematach, z którymi najprawdopodobniej spotkasz się na studiach i w
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Miejsce na naklejkę z kodem WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19 stron (zadania 1–34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin. 2.
Próbna matura 2010 z matematyki, poziom podstawowy (informator CKE), zestaw 2. Rozwiąż Arkusz Schemat oceniania. 48415. .